おもすぃろい数学の問題

2/5は　1/5+1/5ではなく、1/3+1/15 で表せる。
次の数を分子の数を1として異なる分母のみを用いて表せ 1. 2/7 2. 4/5

中学の入試問題らしい。ヒントが与えられているので実際には解きやすいけど、
どう言う性質があるのか自分で考えられる子供じゃないと難しい。

1.

2を最初に7等分出来る量は、4である。
従って、1/4を最初に7個取り出す

次に、残った1/4を7等分すると、丁度等分出来る。

従って、1/28を割り当てられる。

以上から、2を７等分すると、 1/4と1/28を割り当てられる。

1/4 + 1/28

2.

4を最初に5等分出来る数は2である。

従って、1/2ずつを割り当てる事が出来る。

次に、残った1/2が3個あるが、これを最初に5等分出来るのは2である。

従って、1/4ずつを割り当てる事が出来る。

次に、残った1/4を5等分すると、丁度等分出来る。

以上から、4を5等分すると、1/2と1/4と1/20を割り当てられる。

1/2 + 1/4 + 1/20

(番外)
ついでだからプログラムさんに解いて頂けるよう
一般化

数列のある数 Xpを Yで等分出来る最初の数を tpとする。
Y,Xp,tpの間には以下の関係が成り立つ。

t(p)= Y / X(p) + 1
X(p+1)=X(p)*t(p)-Y

X(p)=1となる数pをgとする

X1/Yは以下で表す事が出来る。

X1/Y=Σ(l=1-g) 1/ Π(s=1-l) ts

ってのをコンピュータに実装すれば全自動で計算出来ますかね。多分。

ループに入る事が無い証明できていない状態だと、ループ制御が必要だな。